Prefácio à primeira edição de “Problemas e exercícios de lógica matemática”.

Prefácio à primeira edição de “Problemas e exercícios de lógica matemática”.

Curitiba: Carlos Magno Corrêa Dias, 2003.
ISBN 85-88925-05-2.


Nesse livro encontra-se apresentado, como o próprio título da obra estabelece, um conjunto de problemas e exercícios de Lógica Matemática. Trata-se de uma coleção diversificada de problemas e exercícios relacionada com os principais assuntos abordados em Lógica Matemática no que diz respeito ao cálculo proposicional, cálculo dos predicados, álgebra booleana, silogística, dentre outros temas.

De forma geral, os problemas foram distribuídos, arbitrariamente, em três categorias. Existem questões destinadas à simples fixação de conceitos. Seguem-se exercícios relativamente simples os quais exigem provas de alguns teoremas ou sua aplicação a determinadas situações. E, alguns exercícios que ou são mais complexos ou exigem determinada reflexão prévia e maior atenção por parte do leitor.

Saliente-se, a propósito, que embora os exercícios não sejam acompanhados de correspondente exposição teórica, as soluções apresentadas fazem, em muitas vezes, referência aos respectivos conteúdos e bem poderão contribuir para a resolução dos demais exercícios sugeridos.

Se, contudo, for necessária uma correspondente exposição teórica, o leitor poderá encontrar orientação nas seguintes obras do mesmo autor do presente trabalho; quais sejam: Compêndios de matemática e lógica matemática: uma abordagem extemporânea, Lógica matemática: introdução ao cálculo proposicional e Silogística: introdução à lógica categórica; obras essas já com segundas edições publicadas.

Observe-se, a propósito, que os problemas e exercícios constantes do presente livro correspondem, em grande parte, àqueles apresentados como exercícios propostos nas edições dos livros mencionados no parágrafo precedente.

Assim sendo, na medida do possível, procurou-se seguir a ordem de apresentação dos exercícios apresentados anteriormente nas obras citadas. Entretanto, algumas adequações ou modificações foram processadas com o objetivo de dar ao leitor a possibilidade de relacionar os temas veiculados entre si sem a necessidade de se seguir um roteiro preestabelecido.

A presente obra destina-se, basicamente, aos alunos que possuam noções gerais sobre Lógica Matemática Elementar. Presume-se que o leitor desse livro possua noções iniciais sobre o Cálculo Proposicional e o Cálculo dos Predicados; ou que, pelo menos, esteja cursando regularmente a disciplina de Lógica Matemática.

Trata-se de um livro sobre exercícios. Assim, seu objetivo maior é dar ao leitor a oportunidade de fixar conceitos através da resolução de problemas típicos existentes na correspondente área do conhecimento.

A maioria dos exercícios ou são acompanhados da correspondente solução, ou têm a respectiva resposta apresentada. Contudo, vários exercícios não trazem as soluções ou as respostas. Geralmente os exercícios sem solução ou resposta referem-se a demonstrações as quais podem ser facilmente determinadas tomando-se por base exemplos precedentes.

Os exercícios foram divididos em nove grupos e cada grupo foi apresentado como um capítulo. No final do livro, para cada capítulo considerado, foram apresentadas soluções ou respostas da maioria dos exercícios propostos.

Assim, no Capítulo I (Exercícios Gerais sobre Lógica Matemática) é apresentada uma série de exercícios que aborda temas relacionados mais propriamente com a semântica e a sintaxe tanto da linguagem proposicional quanto da linguagem predicativa.

De forma geral, os exercícios do Capítulo I versam sobre problemas comuns do Cálculo Proposicional e do Cálculo dos Predicados. Assim sendo, quanto aos problemas relacionados com o Cálculo Proposicional são considerados exercícios sobre: determinação do valor lógico de fórmulas proposicionais; codificação e decodificação de sentenças; construção de tabelas-verdade; comprovação de tautologias e contradições; verificação de equivalências e implicações lógicas; aplicações do princípio da substituição lógica; comprovação de propriedades algébricas das operações lógicas; simplificação de fórmulas proposicionais; determinação de formas normais de fórmulas proposicionais; aplicações do princípio da dualidade; bem como, sobre o chamado problema de Post para a determinação de fórmulas proposicionais a partir de resultados lógicos conhecidos.

Quanto aos exercícios sobre o Cálculo dos Predicados são levados em consideração problemas relacionados com a determinação do conjunto-verdade de funções proposicionais de n-variáveis; a determinação do valor lógico de proposições instanciadas; a codificação e decodificação de funções proposicionais e proposições quantificadas; a análise de proposições quantificadas; dentre outros.

No Capítulo II (Exercícios sobre Silogística), são apresentados exercícios sobre a Teoria dos Silogismos. Assim, são propostos exercícios sobre proposições ou enunciados categóricos; formas típicas; quantidade e qualidade; interpretação existencial e hipotética; e, sobre o Quadro de Oposição de Aristóteles.

Também, apresenta-se no Capítulo II exercícios envolvendo a utilização dos Diagramas de Venn no estudo de proposições categóricas; a Interpretação Booleana; a formalização e análise de silogismos categóricos. São apresentados exercícios que tratam da identificação das figuras e modos dos silogismos; da análise de silogismos válidos e não-válidos; da aplicação de inferências imediatas; bem como, da utilização de Sistemas Axiomáticos para a avaliação de silogismos.

Exercícios sobre o Método Dedutivo em Lógica Matemática Proposicional e Predicativa são propostos no Capítulo III (Exercícios sobre Dedução em Lógica Matemática). Em tal capítulo são considerados exercícios sobre argumentos dedutivos; verdade e validade; argumentos válidos e falácias; Princípio Fundamental da Argumentação; argumentos consistentes e inconsistentes.

Ainda no Capítulo III são apresentados exercícios que envolvem a comprovação de argumentos válidos através da utilização de tabelas-verdade e equivalências sucessivas; bem como, através da utilização de métodos tais como: atribuição de valores lógicos; regras de inferência no Cálculo Proposicional; premissa adicional; redução ao absurdo; dentre outros.

Exercícios envolvendo a avaliação de argumentos dedutivos no Cálculo dos Predicados e dedução através regras de inferências sucessivas também são considerados no Capítulo III.

Já no Capítulo IV (Exercícios sobre Axiomática em Lógica Matemática) são propostos exercícios envolvendo a avaliação de argumentos diversos tanto do Cálculo Proposicional quanto do Cálculo dos Predicados a partir de Sistemas Axiomáticos desenvolvidos em Lógica Sentencial e em Lógica Predicativa

No Capítulo V (Exercícios sobre Paradoxos e Antinomias) são sugeridos diversos exercícios que visam a análise dos mais importantes paradoxos e antinomias já evidenciados (tanto lógicos quanto matemáticos). Também, levam-se em conta problemas a respeito dos paradoxos sobre o Infinito e dos paradoxos (antinomias) da Teoria dos Conjuntos.

Quanto aos paradoxos (e às antinomias) da Teoria dos Conjuntos são considerados paradoxos tais como o de Cantor, de Russell, de Burali-Forti, dos Números Cardinais, dos Conjuntos Equipotentes, e, o dos Conjuntos Semelhantes.

Existem, ainda, exercícios que abordam os paradoxos de Protágoras, do Barbeiro, do Hotel de Hilbert, de Galileu Galilei, do Enforcado, dentre outros.

Exercícios pertinentes à Álgebra da Lógica ou Álgebra de Boole são considerados no Capítulo VI (Exercícios sobre Álgebra da Lógica). Em tal capítulo apresentam-se exercícios sobre: funções booleanas, Álgebra Booleana aplicada a interruptores, formas normais, minimização de funções booleanas, circuitos elétricos e blocos lógicos ou portas lógicas.

No Capítulo VII (Exercícios sobre Sistemas de Numeração) apresentam-se exercícios diversos que visam o estudo de diferentes Sistemas de Numeração tais como o Sistema Decimal, Sistema Binário, Sistema Octal e Sistema Hexadecimal. São propostos, também, exercícios envolvendo a conversão entre sistemas e a manipulação de operações em diferentes sistemas.

Considerando-se um particular Sistema Axiomático para a Aritmética Elementar ou Aritmética de Peano, no Capítulo VIII (Exercícios sobre Aritmética de Peano) são apresentados diversos exercícios envolvendo a demonstração de propriedades básicas das operações em Aritmética de Peano.

Por fim, no Capítulo IX (Exercícios sobre Raciocínio Lógico), leva-se em conta uma série de problemas envolvendo Lógica Numérica, Dedução Lógica e Inferências Proposicionais e Predicativas. Trata-se de um conjunto de exercícios diversos que objetivam a avaliação do raciocínio lógico-dedutivo.

Observe-se, então, que os exercícios propostos ao longo desse livro relacionam-se com um conjunto relativamente amplo de temas abordados em Lógica Matemática. A resolução de tais exercícios contribuirá, de um lado, para a fixação de conceitos e, de outro, para a ampliação de horizontes. Que esse livro de exercícios possa, efetivamente, ajudar aos que se aventuram no campo da Lógica Matemática.

Agradeço aos meus pais, José Waldetaro e Cirene Terezinha, por terem propiciado, apesar das dificuldades sempre presentes, o início de meus estudos, bem como, por sempre me incentivarem ao estudo e à aquisição do conhecimento. A eles devo a vida, a criação e as constantes orientações no caminho certo.

À minha esposa, Inês, agradeço a compreensão, a motivação e o incentivo com que acompanhou o desenvolvimento de cada uma das correspondentes fases do presente trabalho; bem como, por toda a ajuda que, em maior ou menor grau, pude receber na leitura das correspondentes provas.

Às minhas filhas Mariana Carolina e Juliana Cecília agradeço pelas graciosas e constantes interrupções que se fizeram presentes durante todas as fases da elaboração desse trabalho. Que na época adequada, possam se interessar por assuntos relacionados com a Matemática e com a Lógica e, a partir daí, se deliciarem com o conhecimento adquirido.

De forma geral, agradeço, ainda, a todas as pessoas que, em nossas vidas, de uma forma ou de outra, direta ou indiretamente, consciente ou inconscientemente, se empenham por nós e torcem pelo nosso contínuo sucesso.

Porém, acima de tudo, agradeço à DEUS. Sem Sua proteção não estaria eu mais nesse mundo e esse trabalho não existiria.

Carlos Magno Corrêa Dias
Curitiba-PR, 01/12/2003